Induzierte Spannung

Die Grundwelle der Luftspaltinduktion induziert die Leerlaufspannung in der Statorwicklung. Hierzu muß die Grundwelle der Luftspaltinduktion ermittelt werden. Aufgrund der radialen Magnetisierung ist die Luftspaltinduktion rechteckförmig. Die Amplitude der Grundwelle $\hat{B}_{\delta,0_I}$ kann über die Koeffizienten $b_\nu$ der Fourier-Reihe ermittelt werden. Die Verteilung der Luftspaltinduktion ist eine ungerade Funktion über $x$ ( $B(-x) = -B(x)$). Damit werden die Fourier-Koeffizienten $a_\nu = 0$ und es müssen lediglich die Koeffizienten $b_\nu$ für $\nu = 1,2,3\ldots$ bestimmt werden.

$$b_\nu = \frac{1}{\tau_p} \int \limits_{-\tau_p} \limits^{\tau_p} {B_{\delta,0}}(x) \sin \left(\frac{\nu \pi}{\tau_p} \, x\right) \, d x \quad \nu= 1,2,3,4,\ldots$$

$$= B_{\delta,0} \, \frac{4}{\nu \pi} \, \left( (- 1)^{\frac{\nu - 1}{2}} \right) \sin \left( \nu \frac{\pi}{2} \alpha_{p_i} \right) \quad \nu = 1, 3, 5, \ldots$$ (21)

Damit liegt die räumliche Verteilung der Induktionsgrundwelle im Luftspalt (bei Leerlauf) fest.

$$B_{\delta,0_I} (x) = \hat{B}_{\delta,0_I} \cos \left(\frac{\pi}{\tau_p} \, x\right) \quad \hat{B}_{\delta,0_I} = \frac{4}{\pi} \, B_{\delta,0} \, \sin\left( \frac{\pi}{2} \, \alpha_{p_i} \right)$$ (22)

Der Polformkoeffizient der Grundwelle $C_I$ beschreibt das Verhältnis der Grundwellenamplitude der Luftspaltinduktion $\hat{B}_{\delta_I}$ zur der maximalen Luftspaltinduktion über der ideellen Polbreite $b_{PM_i}$ gemäß Abbildung 1. Bei der hier betrachteten Maschine mit konstantem Luftspalt, d.h. mit magnetisch rotationssymmetrischem Läufer, ergibt sich:

$$C_I = \frac{\hat{B}_{\delta_I}}{B_{\delta,max}} = \frac{4}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{2} \, \alpha_{p_i} \right)$$ (23)

Die Auswirkungen von Sättigung oder nicht konstantem Luftspalt werden ggf. durch zusätzliche Koeffizienten berücksichtigt.

Die räumliche Verteilung des Flußes ergibt sich durch Integration der Induktionsverteilung über eine Polteilung

$$\Phi_{\delta,0_I} (x) = \int \limits_{\tau_p} l_{\delta_i} \,B_{\... ...} (x) d x = \hat{\Phi}_{\delta,0_I} \sin \left( \frac{\pi}{\tau_p} \, x \right) \quad \hat{\Phi}_{\delta,0_I} = \frac{2}{\pi} \hat{B}_{\delta,0_I} l_{\delta_i} \tau_p$$ (24)

Aus der Änderung des Flußes ergibt sich die induzierte Spannung $u_i$ gemäß Induktionsgesetz aus dem mit der Wicklung verketten Fluß $\Psi$

$$u_i = - \frac{d \Psi}{d t} \quad \Psi = w \, \xi \, \Phi$$ (25)

Bei zeitlicher und räumlicher Änderung, beispielsweise aufgrund einer Bewegung des Rotors um den Weg $x$, ergibt sich der folgende Zusammenhang:

$$u_i = - \frac{\partial \Psi}{\partial x} \, \frac{d x}{d t} - \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$ (26)

$$\quad x (t) = f \, 2 \tau_p \, t \quad f = n \, p$$ (27)

$$u_i = - 2 \, \tau_p \, n \, p \, \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$ (28)

Bei zeitlich konstantem Fluß ergibt sich daraus:

$$u_i = - 2 \, \tau_p \, n \, p \, \frac{d \Psi}{d x}$$ (29)

Die räumliche Verteilung des Grundwellenflußes im Luftspalt einer permanentmagnetisch erregten Synchronmaschine bei Leerlauf ergibt sich zu:

$$\Psi_{\delta,0_I} (x) = \hat{\Psi}_{\delta,0_I} \cos \left(\frac{\pi}{\tau_p} \, x \right)$$ (30)

$$\Rightarrow \quad \frac{d \Psi}{d t} = - \frac{\pi}{\tau_p} \hat{\Psi}_{\delta,0_I} \sin\left(\frac{\pi}{\tau_p} \, x \right) \quad \hat{\Psi}_{\delta,0_I} = w_1 \, \xi_I \, \hat{\Phi}_{\delta,0_I}$$ (31)

Aus den Gleichungen (29), (30) und (31) ergibt sich für die Grundschwingung der induzierten Spannung im Leerlauf:

$$u_{i,0_I}(x) = 2 \pi n p \hat{\Psi}_{\delta,0_I} \sin\left(\frac{\pi}{\tau_p} \, x \right)$$

$$= \hat{U}_{i,0_I} \sin\left(\frac{\pi}{\tau_p} \, x \right)$$

$$u_{i,0_I}(t) = \hat{U}_{i,0_I} \sin\left(2 \, \pi \, n \, p \, t \right)$$ (32)

$$\hat{U}_{i,0_I} = 4 \, n \, p \, w_1 \, \xi_I \hat{B}_{\delta,0_I} l_{\delta_i} \tau_p$$ (33)

Der Effektivwert der induzierten Spannung beträgt somit:

$$U_{i,0_I} = 2 \sqrt{2} \, n \, p \, w_1 \, \xi_I \hat{B}_{\delta,0_I} l_{\delta_i} \tau_p$$ (34)

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